Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，记的最小值为，证明：.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

(1)讨论参数的值，利用导数证明单调性即可；

(2)由(1)中所得的单调性得出，构造函数，利用导数证明函数的单调性，利用单调性证明不等式即可.

（１）∵的定义域为，

又∵

∴当时，，在上单调递减；

当时，若，，在上单调递减；

若，，在上单调递增.

（2）∵，由（1）知：，

令，

设，

由于恒成立，

故可知在上单调递减，

又∵，

可知存在使得，

∴时，为增函数；

时，为减函数，

即当时，取得最大值，

∵，

又∵，

∴.