Question

设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且x>1时，f(x)>0.

(1)求f()的值；

(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；

(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.

Answer

（1）-1 ； （2）见解析； （3）{x|}．

【解析】

(1)先给x,y取值，当x＝y＝1时，求出 f(1)＝0. 当x＝2，y＝时，即可求出f()的值.(2) y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，再利用单调性的定义证明.(3) 由(1)知，f()＝－1，所以f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f()，得到f(2x)>f(4x－3)，再利用函数的单调性解不等式得解.

(1)对于任意x，y∈R都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，

∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.

当x＝2，y＝时，有f(2×)＝f(2)＋f()，

即f(2)＋f()＝0，又f(2)＝1，∴f()＝－1.

(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：

设01，故f()>0，

即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

(3)由(1)知，f()＝－1，∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f()

＝f( (8x－6))＝f(4x－3)

∴f(2x)>f(4x－3)，

∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴

解得解集为{x|}．