Question

已知．

(1)当＝－1时，求的单调区间及值域；

(2)若在()上为增函数，求实数的取值范围．

Answer

（1）f(x)的值域为(－∞，2－log23]．增区间为，减区间为.（2）

【解析】

(1) 当a＝－1时，f(x)＝log(x2＋x＋1)，log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，

∴f(x)的值域为(－∞，2－log23]．由对数式的真数大于0求得函数的定义域，得到内函数的单调区间，结合复合函数的单调性得答案．

(2)用复合函数的单调性来求解，令u(x)＝x2－ax－a＝2－－a，

由“若f(x)在上为增函数，”，可知u(x)应在上为减函数且

u(x)＞0在恒成立．再用“对称轴在区间的右侧，且最小值大于零”求解可得结果．

解 (1)当a＝－1时，f(x)＝log(x2＋x＋1)，

∵x2＋x＋1＝2＋≥，

∴log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，

∴f(x)的值域为(－∞，2－log23]．

∵y＝x2＋x＋1在上递减，在上递增，y＝logx在(0，＋∞)上递减，

∴f(x)的增区间为，

减区间为.

(2)令u(x)＝x2－ax－a＝2－－a，

∵f(x)在上为单调增函数，

又∵y＝logu(x)为单调减函数，

∴u(x)在上为单调减函数，且u(x)＞0在上恒成立.

因此即

解得－1≤a≤.

故实数a的取值范围是.