Question

设是平面直角坐标系中两两不同的四点,若,,且，则称调和分割.已知平面上的点调和分割点，则下列说法正确的是

A.可能线段的中点

B.可能线段的中点

C.可能同时在线段上

D.不可能同时在线段的延长线上

Answer

D

【解析】

由已知不妨设A(0,0)、B(1,0)、C(c,0)、D(d,0)，

则(c,0)=λ(1,0)，(d,0)=μ(1,0)，

∴λ=c，μ=d；

代入 = 2得 = 2；(∗)

若C是线段AB的中点，则c=，代入(∗)得，d不存在，

∴C不可能是线段AB的中点，A错误；同理B错误；

若C，D同时在线段AB上，则0⩽c⩽1，0⩽d⩽1，代入(∗)得，c=d=1，

此时C和D点重合，与已知矛盾，∴C错误.

若C，D同时在线段AB的延长线上时，则λ>1.μ>1，

，这与矛盾，

所以C、D不可能同时在线段AB的延长线上.

故选D.