Question

出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的.在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，对于直角坐标系内任意两点、定义它们之间的一种“距离”（“直角距离”）：，请解决以下问题：

（1）求线段（，）上一点到原点的“距离”；

（2）求所有到定点的“距离”均为2的动点围成的图形的周长；

（3）在“欧式几何学”中有如下三个与“距离”有关的正确结论：

①平面上任意三点A，B，C，；

②平面上不在一直线上任意三点A，B，C，若，则是以为直角三角形

③平面上存在两个不同的定点A，B，若动点P满足，则动点P的轨迹是的垂直平分线

上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确，并说明理由.

Answer

（1）2（2）（3）①正确②错误③错误，见解析

【解析】

(1)根据“直角距离”的定义直接求解即可.

(2)设点到定点的“距离”为2,再根据定义任意两点、间的“距离”分四种情况求解即可.

(3)直接证明或举出反例判断即可.

(1)易得线段上一点到原点的“距离”为

(2) 设点到定点的“距离”为2,则

1.当时, ,

此时为线段,

2.当时, ,

此时为线段,

3.当时, ,

此时为线段,

4.当时, ,

此时为线段,

易得围成的图形的形状为以为顶点的正方形

故周长为.

(3)

①设,

则,，.

根据绝对值三角不等式可知,

同理.

故.

故成立.故①正确.

② 设,则,

,.

满足,但,故②错误.

③设,则,

,满足,但不在的垂直平分线上.故③错误.

综上所述, ①正确②错误③错误