Question

如图1所示，长方体，底面是正方形， 为中点，图2是该几何体的左视图.

（1）求四棱锥的体积；

（2）正方体内（包括边界）是否存在点，使三棱锥体积是四棱锥体积的？若存在，请指出满足要求的点的轨迹，并在图1中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）存在，点的轨迹是的中点和的中点的连线段，图形见解析

【解析】

（1）由题意可得，再结合棱锥的体积公式求解即可;

（2）由棱锥的体积，求出点到的距离，再判断点的轨迹即可得解.

【解析】
（1）又由题意可得：，

则 ；

（2）设点到的距离为，

因为点到平面的距离为1，所以，

所以，即满足要求的点的轨迹是的中点和的中点的连线段，

点的轨迹如图所示：