Question

设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为数列的“创新数列”.例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7. 考查正整数1，2，…，的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.

（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；

（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的的创新数列；若不存在，请说明理由.

（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）3，4，1，2和3，4，2，1，（2）存在，，（3）有个

【解析】

（1）先阅读题意，再求出数列即可得解；

（2）先假设存在数列的创新数列为等比数列，再由创新数列的定义求解即可；

（3）先假设存在数列的创新数列为等差数列，再由创新数列的定义分类讨论等差数列的公差求解即可.

【解析】
（1）由题意可得：第一个数为3，第二个数为4，第三个与第四个数分别为1与2的排列即可，即数列有两个：3，4，1，2和3，4，2，1；

（2）存在数列的创新数列为等比数列，

理由如下：

设数列的创新数列为，

若为等比数列，设公比是，因为，所以，

当时，为常数列，满足条件，即创新数列为；

当时，为增数列，符合条件的数列只有1，2，，

又1，2，，不是等比数列；

综上可得符合条件的创新数列只有一个；

（3）存在数列，使它的创新数列为等差数列，

理由如下：

若为等差数列，设公差是，因为，

所以且，

当时，为常数列，满足条件，即创新数列为；

此时数列是首项为的任意一个排列，共有个排列，

当时，为增数列，符合条件的数列只有1，2，，

此时数列是1，2，，只有一个；

当时，与矛盾，此时不存在；

所以满足条件的数列的个数为个.