Question

已知动点到定点的距离比到定直线的距离小，其轨迹为.

（1）求的方程

（2）过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）由已知条件结合抛物线的定义即可得解；

（2）先联立直线与抛物线方程求得中点的坐标，然后求出线段的中垂线的方程,再求出点的坐标即可得解.

【解析】
（1）由题意知，动点到定直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线的方程为：.

（2）由题意知直线存在斜率，设直线的方程为，，，中点，

则由得，

所以，，

则线段的中垂线的方程为，则，

又，即，

所以的取值范围是.