Question

已知椭圆：的离心率，左顶点为.过点作直线交椭圆于另一点，交轴于点，点为坐标原点.

（1）求椭圆的方程：

（2）已知为的中点，是否存在定点，对任意的直线，恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；

（3）过点作直线的平行线与椭圆相交，为其中一个交点，求的最大值.

Answer

（1）（2）存在定点，坐标为（3）

【解析】

（1）由已知条件求出椭圆的长半轴，短半轴长即可得解；

（2）联立直线方程与椭圆方程得，求出坐标，然后结合向量的数量积运算即可得解；

（3）先将用表示，再结合基本不等式求解即可.

【解析】
（1）∵左顶点为∴

又∵∴

又∵，∴椭圆的标准方程为.

（2）由已知，直线的斜率必存在，直线的方程为，

联立得，，

设， ，则，

又为的中点，所以，

又因为点在直线上，则，

即点的坐标为，

又直线的方程为，

令，得点的坐标为，即

假设存在定点使得，则，

①若，显然恒成立；

②若，因为，所以恒成立，

则，即

即定点的坐标为.

综上，存在定点满足题意；

（3）∵，∴的方程可设为，

由得点的横坐标为

由，得

，当且仅当即时取等号，

∴当时，的最小值为.

故的最大值为.