Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.

（1）求证：平面PCD；

（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）在正方形ABCD中，证得，再在中得到，利用线面垂直的判定，即可得到平面PCD；

（2）取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，证得是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，再直角中，即可求得侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.

（1）在正方形ABCD中，，

又侧面底面ABCD，侧面底面，

所以平面PAD，

平面PAD，所以，

是正三角形，M是PD的中点，所以，

又，所以平面PCD.

（2）取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，

则，所以，

又在正中，，平面PEF，

∵正方形ABCD中，平面PEF，

是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，

由平面PAD，，平面PEF，平面PAD，

.设正方形ABCD的边长，则，

所以，所以,

即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为.