Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M是线段EF的中点，二面角的大小为60°.

（1）求证：平面BDE；

（2）试在线段AC上找一点P，使得PF与CD所成的角是60°.

Answer

（1）证明见解析；（2）P为AC的中点

【解析】

(1）要证平面，直线证明直线平行平面内的直线即可；
(2) 以 为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设出线段上点的坐标，由与所成的角是60°,得到向量夹角的余弦值为 , 由此可求得点的坐标

（1）证明：设，连接NE，

，，M是线段EF的中点，N是线段AC的中点，

，，

四边形AMEN为平行四边形，

，

又平面BDE，平面BDE，

平面BDE.

（2）如图，以 为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

则，，，，

，，，

，，，

平面ADF，

为平面DAF的法向量，

设平面BDF的法向量为，

，即，

令，则平面BDF的一个法向量为

设二面角的大小为θ，

则，

解得，

设，，，

则，解得或（舍去），

所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°.