Question

如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，底面，，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）由线面垂直得到，再由勾股定理可证，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法由二面角的余弦值为，求出，再求线面角的正弦值.

【解析】
（1）因为平面，平面，

所以．

因为，，

所以．

所以，所以，

又，平面，平面，

所以平面.

（2）如图，以点为原点，平行于，CD, 分别为x轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，，．

设，

则， ，，，

取

则，为面的法向量．

设为面的法向量，则由，

即，取，，，则，

依题意，则．

于是，．

设直线与平面所成角为，

则.