Question

设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .

（1）求椭圆的方程;

（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由题意可知及，即可求得和的值，求得椭圆的标准方程；

（2）讨论直线的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可求得最小值.

（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴，

∵离心率为，∴，又，解得，，，

∴椭圆的方程为

（2）（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，

此时，，

（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，

得，

设的横坐标分别为，

则，∴，

由可得直线的方程为，联立椭圆的方程，消去，

得

设的横坐标为，则

∴

，令，

则 ，

综上