Question

如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形，且平面平面，为的中点，，，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取中点，由中位线性质可知且，由此可得，证得，根据线面平行的判定定理即可证得结论；

（2）取中点，由面面垂直性质可知平面，结合平行关系知，由此可建立以为原点的空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得结果.

（1）取中点，连结，

分别为中点， 且

又，

四边形为平行四边形

平面，平面 平面

（2）取中点，连接，

等边三角形

平面平面，平面平面，平面

， 四边形为平行四边形

则以为坐标原点，可建立如图所示空间直角坐标系

则，，，，

，

设平面的一个法向量为

则，令，则，

显然，平面的一个法向量为

二面角为锐二面角 二面角的余弦值为