Question

已知函数，其中.

（1）若，求曲线在处的切线方程;

（2）设函数若至少存在一个,使得成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

(1)求导后代入求得在处的切线斜率,再利用点斜式求得切线方程即可.
(2)求导后分与时,分析单调性再根据函数性质的最值满足的条件列式求不等式即可.

(1)当时,,

∴,即切线斜率为2,故由点斜式方程可得切线方程为,即

(2)原问题等价于至少存在一个,使得成立,

令,则,

①当时,,则函数h(x)在[1,e]上单调递减,故h(x)min＝h(e)＝﹣2＜0,符合题意；

②当时,令,,解得,则函数h(x)在上单调递减,令,解得,则函数h(x)在单调递增,

且,,

1.当,即时,在上,单调递增,

此时不符合题意

2.当,即时, 在上,单调递减,

此时满足题意

3.当,即时,,不满足题意

综上,实数a的取值范围为．