Question

在中，为直角，，，与相交于点，，.

（1）试用、表示向量；

（2）在线段上取一点，在线段上取一点，使得直线过，设，，求的值；

（3）若，过作线段，使得为的中点，且，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）设，根据，，三点共线，可得存在非零实数使得，从而，，利用平面向量基本定理可得，的关系，同理，，三点共线，可得，的关系，由此即可求得，的值，即得解；（2）将两次线性表示，利用平面向量基本定理，建立等式，消参，即可证得结论

（3）如图，设的夹角为，则的夹角为，求出，再求取值范围.

（1）【解析】
设

，，三点共线，存在非零实数使得

，

①

又，，三点共线，存在非零实数使得

，

又②

由①②解得：，

所以.

（2）证明：由（1）知，

，，三点共线，

存在非零实数使得

消去得．

所以 .

（3）

如图，设的夹角为，则的夹角为，

所以

所以

所以.