Question

如图，已知城市周边有两个小镇、，其中乡镇位于城市的正东方处，乡镇与城市相距，与夹角的正切值为2，为方便交通，现准备建设一条经过城市的公路，使乡镇和分别位于的两侧，过和建设两条垂直的公路和，分别与公路交汇于、两点，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）当两个交汇点、重合，试确定此时路段长度；

（2）当，计算此时两个交汇点、到城市的距离之比；

（3）若要求两个交汇点、的距离不超过，求正切值的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求出直线的斜率为1，点B的坐标为，再利用点到直线的距离为|BD|=；（2）设直线AB的斜率为，先求出再求出，即得；（3）先求出,再求出解不等式即得解.

（1）当两个交汇点、重合时，则AC,BD公路共线，

过点B作BE⊥AO,垂足为E, 则,

所以AE=，所以|BE|=|AE|,

所以直线AB的倾斜角为，所以直线AB的斜率为，

所以直线的斜率为1，

因为点B的坐标为，所以|BD|=.

（2）由题得A(21,0)，设直线AB的斜率为，

所以直线AB的方程为，

因为|AC|=|BD|,

所以.

由题得,

所以,

所以.

（3）由题得

，

所以，

所以.

因为,

所以

解之得.

故正切值的取值范围为.