Question

已知函数，其中，.

（1）若不等式的解集是，求的值；

（2）若，对任意，都有成立，且存在，使得成立，求实数的取值范围；

（3）若方程有一个根是1，且，，求的最小值，并求此时，的值.

Answer

（1）；（2）；（3）最小值，.

【解析】

（1）利用不等式的解集，转化为方程的根，求解即可．

（2）利用二次函数的性质，列出不等式组求解即可．

（3）利用基本不等式转化求解函数的最值的即可．

（1）依题意，，，解得，，

（2）若，则．

依题意，，由①得，，

由②得，或，

所以，或为所求．

（3）方程有一个根是1，且、，，即，

可得，

设，，可得，，，

，

当且仅当，即时取等号．