Question

已知数集具有性质；对任意的、，，与两数中至少有一个属于．

（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

（2）证明：，且；

（3）当时，若，求集合．

Answer

(1) 集合具有性质,集合不具有性质.(2)证明见解析.（3）.

【解析】

(1)利用与两数中至少有一个属于.即可判断出结论. 

(2)令“,由“与两数中至少有一个属于”可得属于.

令,那么是集合中某项,不符合不符合题意,符合.同理可得:令可以得到,令,可以得到,倒序相加即可. 

(3)当时,取,当时,,由A具有性质P,,又时,,可得,则 ,又,可得,则,则有.可得即是首项为,公差为等差数列是首项为0,公差为等差数列.

【解析】
(1)在集合中，设

①,具有性质

②,具有性质

③,具有性质

④,具有性质

⑤,具有性质

⑥,具有性质

综上所述：集合具有性质；

在集合中，设,

①,具有性质

②,具有性质

③,具有性质

④,不具有性质

⑤,具有性质

⑥,具有性质

综上所述：集合不具有性质.

故集合具有性质,集合不具有性质.

(2) 证明:令,

则与两数中至少有一个属于”, 

不属于,属于. 

令,那么是集合中某项,不符合题意,可以.

如果是或者,那么可知,

那么,只能是等于,矛盾. 

所以令可以得到, 

同理,令,可以得到, 

倒序相加即可得到

即

(3)当时,取,当时,, 

由具有性质,,又时,, 

,

, 

则,

, 

从而可得,

故,即, 

又

,则,则有

又

, 

即是首项为,公差为等差数列,