Question

已知有限集. 如果中元素满足，就称为“复活集”，给出下列结论：

①集合是“复活集”；

②若，且是“复活集”，则；

③若，则不可能是“复活集”；

④若，则“复活集”有且只有一个，且.

其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号）

Answer

①③④

【解析】

根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理以及反证法，依次判断四个结论的正误，进而可得答案.

对于①， ，故①正确；

对于②，不妨设，

则由韦达定理知是一元二次方程的两个根，

由，可得或，故②错；

对于③，不妨设中，

由得，

当时，即有，

，于是，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故③正确；

对于④，当时，，故只能，，求得，

于是“复活集” 只有一个，为，

当时，由，

即有，

也就是说“复活集”存在的必要条件是，

事实上，矛盾，

当时不存在“复活集”，故④正确.

故答案为：①③④