Question

一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图，的坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程.

(1)点为抛物线准线上一点，点，均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明；

(2)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出(不需证明)；

(3)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的值.

Answer

(1)证明见解析 (2) (3)

【解析】

（1）设，根据青蛙依次向右向上跳动得到，，再由抛物线的定义即可证明.

（2）根据题意可得：，，，，由于青蛙从开始依次水平向右和竖直向上跳动，可知随着的增大，点无限接近点，进而可得横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近，故问题得解.

（3）有题意知：，，，，，，…….观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标是首项为，公比为的等比数列.相邻横坐标之差是首项为，公差为的等差数列.再利用数列的性质即可求出.

（1）设，由于青蛙依次向右向上跳动，

所以，，

由抛物线定义知：，即证.

（2）依题意，，，，.

.

随着的增大，点无限接近点，

横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近.

∴.

（3）由题意知：，，，

，，，……

其中，，，，……

，，，，……

观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标是首项为，公比为的等比数列.

相邻横坐标之差是首项为，公差为的等差数列.并可用数学归纳法证明.

所以，当为奇数时，，.

所以，.