Question

已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）．

（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；

（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；

（3）已知，，试计算．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据不等式可得，把代入即可解出

（2）根据化简，利用为有理数即可解决

（3）根据题意可知，本题需分为奇数和偶数时讨论，通过求出．

（1）∵，∴，即，

∴，

∵，∴，∴．

（2）∵，∴，

∴，

∵，，为有理数列，为无理数列，

∴，∴，以上每一步可逆．

（3），∴．

∵，∴，

当时，∴

当时，∴，∴为有理数列，

∵，∴，

∴，

∵，，为有理数列，为无理数列，

∴，∴，

∴

当时，∴

当时，∴，

∴．