Question

已知三棱柱中，平面，于点，点在棱上，满足.

若，求证:平面;

设平面与平面所成的锐二面角的大小为，若，试判断命题“”的真假，并说明理由.

Answer

证明见解析 假命题，理由见解析

【解析】

根据题意，设，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，过和平行的直线为轴，以所在的直线为建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，只需证明，即可得出结论成立；

根据中建立的坐标系，分别求出平面与平面的法向量，表示出两向量的夹角，根据题意，即可求出结果.

因为，设，则

，所以，，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，过和平行的直线为轴，以所在的直线为建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，

，

，

所以，，

所以，所以，

，

设为平面的法向量，则

即，取，则，

所以，而，所以，

又因为直线在平面外，

所以平面 .

由可知，，

因为，所以.

所以，

所以，所以，

，设为平面的法向量.

则，即，

取，则，

，

因为平面，所以，因为，

所以与的法向量平行，

取，

设平面与平面所成锐二面角为，

所以

对于，若把看作的函数.

则此函数在上是单调递增的，在是单调递减的，

所以，所以，

所以不存在，使得，

命题“”是假命题.