Question

如图，已知棱柱的底面是菱形，且面ABCD，，F为棱的中点，M为线段的中点．

（1）求证：面ABCD；

（2）判断直线MF与平面的位置关系，并证明你的结论；

（3）求三棱锥的体积．

Answer

（1）证明见解析 （2）平面，证明见解析 （3）

【解析】

（1）连接AC、BD交于点O，再连接OM，利用三角形中位线定理结合平行四边形的性质，得四边形MOAF是平行四边形，从而，所以平面ABCD；

（2）平面，先证明平面，再结合，可得平面；

（3）过点B作于H，可证出平面，从而BH是三棱锥的高，算出的面积并结合锥体体积公式，可得三棱锥的体积.

【解析】
（1）接AC、BD交于点O，再连接OM，

中，OM是中位线，且，

∵矩形中，且，

且，可得四边形MOAF是平行四边形，

，

平面ABCD，平面ABCD，

平面ABCD；

（2）平面，证明如下

在底面菱形ABCD中，，

又平面ABCD，平面ABCD，

，

是平面内的相交直线，

平面，

平面；

（3）过点B作，垂足为H，

平面ABCD，平面ABCD,

，

是平面内的相交直线,

平面，

在中，，

，

因此，三棱锥的体积.