Question

已知函数，（a为正常数），且函数和的图象与y轴的交点重合.

（1）求a实数的值

（2）若（b为常数）试讨论函数的奇偶性；

（3）若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由题意得：，即，可得.

（2）利用奇偶函数的定义，确定b的值，进而可得函数的奇偶性.

（3）关于x的不等式有解转化为的最大值大于或等于a，计算可得答案.

（1）由题意得：，即，又∵，∴.

（2）由（1）可知，，，

∴，

若为偶函数，即，则有，此时，，

故，即不为奇函数；

若为奇函数，即，则，此时，，

故，即不为偶函数；

综上所述：

当且仅当时，函数为偶函数，且不为奇函数，

当且仅当时，函数为奇函数，且不为偶函数，

当时，函数既非奇函数又非偶函数.

（3）关于x的不等式有解，即x的不等式有解

，当时等号成立.

故