Question

已知函数，

（1）求证在上递增；

（2）若在上的值域是，求实数a的取值范围；

（3）当在上恒成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）设，计算得到证明.

（2）若在上的值域是，则，构造函数与 （），利用两函数的图像有两个公共点，即求实数a的取值范围；

（3）当在上恒成立在上恒成立，构造函数，利用基本不等式可求得，从而可求实数a的取值范围.

（1）设，则

故，即函数单调递增.

（2）∵在上单调递增，∴若在上的值域是，

则，即，

故函数与（）的图像有两个公共点，

∵当时，（当且仅当，即时取“=”），

∴，解得.

（3）∵，在上恒成立上，

∴在上恒成立，

令，则（当且仅当，即时取等号），

要使上恒成立，故a的取值范围是.