Question

若点是函数的图象上任意两，且函数在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（    ）

A. B. C.最大值为e D.最大值为e

Answer

D

【解析】

根据,分三种情况讨论: ,或.对函数求导,由导数的几何意义及函数在点A和点B处的切线互相垂直,即可得的关系,进而判断选项即可.

因为,点

所以

因为在点A和点B处的切线互相垂直

由导数几何意义可知, 在点A和点B处的切线的斜率之积为

当时,满足,即

因为,所以方程无解.即不存在时使得在点A和点B处的切线互相垂直

当时,满足,即.因为,所以

所以,所以A、B错误;

对于C,可知,令,

所以

令,得

所以当时, ,则在时单调递减

所以在时取得极小值,即最小值为,无最大值,所以C错误;

对于D,可知

令,

则

令,解得

所以当时, ,则在时单调递减

当时, ,则在时单调递增

所以在时取得极小值,即最小值为.

当时取得最大值, ,所以D正确.

当时,满足,即

此方程无解,所以不成立.

综上可知,D为正确选项.

故选:D