Question

已知函数.

（I）试判断函数的单调性；

（Ⅱ）若函数在上有且仅有一个零点，

（i）求证：此零点是的极值点；

（ⅱ）求证：.

（本题可能会用到的数据：）

Answer

（I）见解析；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）先求得导函数,然后对分类讨论,即可得单调区间.

（Ⅱ）（i）先求得反函数,代入即可求得的解析式.求得,根据仅有一个零点,可知在单调递增,通过检验与函数值的符号,可判断零点所在区间为.通过判断时,时,,即可知极小值点为.

（ⅱ）根据（i）由可解得.构造函数通过检验与可知,通过分析在单调递增,可知当时, 成立,即证明.

（I）

时,恒成立

所以在单调递增,没有单调递减区间.

时,解不等式可得：,

所以此时在单调递减,在单调递增.

综上：时,在单调递减,在单调递增,

时,在单调递增,没有单调递减区间.

（Ⅱ）（i）

则

函数在上有且仅有一个零点

在单调递增

又因为

且

,使得

且时,时,

在单调递减,单调递增

在上有且仅有一个零点,所以此零点为极小值点

（ii）由（i）得,即,

解得,且.

设

,则在单调递减.

因为

.

又在单调递增,

,