Question

如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，．

（1）求二面角的正弦值；

（2）点是线段的中点，点为线段上点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

Answer

（1） （2）

【解析】

（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面的法向量，平面的法向量，根据公式得到两个法向量之间的夹角余弦，再求出二面角的正弦值；（2）设，得到，，根据公式，表示出与之间的夹角余弦，即直线和平面所成角的正弦值，从而得到关于的方程，求出的值，得到线段的长.

（1）证明：如图，以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系，

则，，，，，，，，

又因为分别为的中点，所以.

，，，

设是平面的法向量，

由，得，

取，得，

设是平面的法向量，

由，得，

取，得.

，

设二面角的平面角为，

所以，

所以二面角的正弦值为.

（2）由题意可设，其中，∴，，

又因为是平面的一个法向量，

所以，

设直线和平面所成角为，，

整理，得，

所以，

解得或（舍）.

所以线段的长为.