Question

已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为6.

（1）求椭圆的方程.

（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于点.试问直线是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）根据题意得到解得，再由a,b,c的关系得到结果；（2）设出直线AM，联立直线和椭圆，表示出点M的坐标，设直线的斜率为，则，即，把点坐标中的替换为，得到点N的坐标，利用两点坐标表示出直线MN即可得到直线过定点.

（1）由题意知解得.

又，

，

椭圆方程为.

（2）设左顶点，根据已知得直线的斜率存在且不为零，

设，代入椭圆方程，得，

设，则，即，，

即.

设直线的斜率为，则，即，把点坐标中的替换为，得.

当的横坐标不相等，即时，，直线的方程为，即，该直线恒过定点.

当时，、的横坐标为零，直线也过定点.

综上可知，直线过定点.