Question

已知数列中，，是数列的前项和，且．

（1）求，，并求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，若 对任意的正整数都成立，求实数的取值范围．

Answer

（1），， （2）

【解析】

（1）令，得到，当时，，所以得到，整理得到，从而得到的通项公式，从而得到的通项；（2）根据（1）得到的通项，然后得到其前项的和，计算，得到在上单调递增，从而得到，得到的取值范围.

【解析】
（1）在中，

，则，即，得，

由得：

当时，，

化简得，

即，

所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，

所以.

又因为，所以，

所以，.

当时，，

对也成立，

所以数列的通项公式为.

（2）因为，

所以

.

因为，

所以在上单调递增，

所以的最小值为.

因为对任意的正整数都成立，

所以，

即.

所以实数的取值范围是.