Question

定义个数的“倒均值”.

（1）若数列的前项，的“倒均值”. 求的通项公式

（2）在（1）的条件下，令，试研究数列的单调性，并给出证明.

（3）在（2）的条件下，设函数，对于数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出在最小的实数，若不存在，说明理由.

Answer

（1）

（2）数列为增函数，证明见解析

（3）存在，

【解析】

（1）由“倒均值”的定义求解即可；

（2）由定义法证明数列的单调性即可；

（3）利用最值法可得，当时，恒成立，从而求解的范围即可得解.

【解析】
（1）由“倒均值”的定义及的“倒均值”为，

则，

所以，

当时， ，

又当时，，满足上式，

即，

故的通项公式为；

（2）由（1）得：，

则数列为增函数，证明如下：

，即，

故数列为增函数；

（3）存在，理由如下：

由（2）可得：当时，取最小值，

设存在实数，使得当时，对任意恒成立，

则存在实数，使得当时，恒成立，

解二次不等式，

解得：或，

即存在实数，使得当时，恒成立，此时，

即最小的实数为.