Question

在三棱锥中，是正三角形，面面，，，、分别是、的中点．

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，由等腰三角形三线合一的性质得出且，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出面，从而得出；

（2）利用面面垂直的性质定理证明出平面，以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值．

（1）取的中点，连接、，

，，且．

又，面，又面，；

（2）由面面，平面平面，，平面，可得面.

故以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，

建立如图所示空间直角坐标系：则，，， ，.

，，设为平面EFC的一个法向量

由，取，则，． .

又为面的一个法向量，由

如图知二面角的余弦值为.