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在三棱锥中,是正三角形,面面,,,、分别是、的中点. (1)证明:; (2)求二...

在三棱锥中,是正三角形,面分别是的中点.

1)证明:

2)求二面角的余弦值.

 

(1)见解析;(2). 【解析】 (1)取的中点,连接、,由等腰三角形三线合一的性质得出且,利用直线与平面垂直的判定定理可证明出面,从而得出; (2)利用面面垂直的性质定理证明出平面,以为坐标原点,分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值. (1)取的中点,连接、, ,,且. 又,面,又面,; (2)由面面,平面平面,,平面,可得面. 故以为坐标原点,分别以、、所在直线为轴、轴、轴, 建立如图所示空间直角坐标系:则,,, ,. ,,设为平面EFC的一个法向量 由,取,则,. . 又为面的一个法向量,由 如图知二面角的余弦值为.
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