Question

对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”同时点是点的“下位点”

（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

（2）已知点是点的“上位点”，判断是否一定存在点满足既是点的“上位点”，又是点的“下位点”若存在，写出一个点坐标，并证明：若不存在，则说明理由；

（3）设正整数满足以下条件：对集合，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.

Answer

（1），；（2）存在，；（3）201.

【解析】

（1）根据新定义，即可求解；

（2）根据不等量的关系，满足条件的点存在；

（3）将“下位点”， “上位点”转化为不等量关系，利用（2）结论，即可求解.

（1），根据上下位的定义可得，

点的一个“上位点”（3,4），一个 “下位点”（3,6）；

（2）已知点是点的“上位点”，则有，

，

同理可得，所以存在既是点的“上位点”，

又是点的“下位点”；

（3）点既是点的“下位点”，

又是点的“上位点”，则有，

在恒成立，由（2）中的结论可得：

时，满足条件；

若时，则不成立；

故是最小值为201.