Question

已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）

A.（0，1） B. C. D.

Answer

B

【解析】

先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．

由题意可得，三角形ABC的面积为 1，

由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），

由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，

故0，故点M在射线OA上．

设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．

①若点M和点A重合，如图：

则点N为线段BC的中点，故N（，），

把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．

②若点M在点O和点A之间，如图：

此时b，点N在点B和点C之间，

由题意可得三角形NMB的面积等于，

即，即 ，可得a0，求得 b，

故有b．

③若点M在点A的左侧，

则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．

设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），

此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|，

即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．

由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．

两边开方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得 b＞1，

故有1b．

综上可得b的取值范围应是 ，

故选B．