Question

如图，设直线：，：.点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数）.

（1）求实数的取值范围；

（2）设，求面积的最小值；

（3）是否存在实数，使得的值与无关?若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）由直线的方程为，求出交点坐标后由纵坐标为正可得的范围．

（2）在（1）基础上，求出后可得面积，令换元后由基本不等式可得最小值．

（3）在（1）基础上，求出，不论为何值（有意义时），此值为常数，分析此式可得结论．

（1）直线的方程为，

令得，，由，得，∵，∴，

由得（时，方程组无解，不合题意），

由，∵，∴或，

综上．即．

（2）由（1）得，，，，

设直线的倾斜角为，则，，∴，

，

令，则，，

．

当且仅当，即，时等号成立，

∴的最小值是．

（3）假设存在满足题意的，由（1），，

∴，此式与值无关，则，．

所以，存在，的值与无关．