Question

如图，F₁、F₂是椭圆C₁：＋y²＝1与双曲线C₂的公共焦点，A、B分别是C₁、C₂在第二、四象限的公共点．若四边形AF₁BF₂为矩形，则C₂的离心率是___．

Answer

【解析】

不妨设|AF1|＝x，|AF2|＝y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．

设|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵点A为椭圆C1：y2＝1上的点，

∴2a＝4，b＝1，c；

∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4；①

又四边形AF1BF2为矩形，

∴，即x2+y2＝（2c）212，②

由①②得：，解得x＝2，y＝2，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，

则2m＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2，2n＝2c＝2，

∴双曲线C2的离心率e．

故答案为．