满分5 > 高中数学试题 >

已知函数,下列说法正确的是__________.的值域是;当时,方程 有两个不等...

已知函数,下列说法正确的是__________.的值域是时,方程 有两个不等实根;若函数有三个零点时,则经过有三条直线与相切.

 

①②③ 【解析】 ①:结合导数,用函数的单调性和奇偶性,求得的值域;②利用导数,证得方程 有两个不等实根;③根据为偶函数,故可先考虑的情况,再由对称性得到的情况.当时,首先确定是函数的零点,令,分离常数,利用导数求得的取值范围.再根据对称性,求得的取值范围.④利用导数,求得过的切线的条数. ①函数的定义域为,且,所以为偶函数,图像关于轴对称.当时,,,.令解得,所以在上递减,在上递增,,所以,所以在上单调递增,从而.由于为偶函数,所以在上单调递减,且.所以的值域是.故①正确. ②显然,是方程的根.方程可化为.当时,即.根据①的分析,结合图像可知,当时与的图像没有公共点.故只需考虑的情况.由得,即.构造函数,,,令,解得.所以在上递减,在上递增,且,所以存在,使得.故在上递减,在上递增.,所以存在,使.综上所述,当时,方程 有两个不等实根成立,故②正确. ③为偶函数,故可先考虑的情况.当时,函数为,故方程有三个不相等的实数根.首先是方程的根. 先证:令,,,令解得.所以在上递减,在上递增.,当,.若,即,则在区间上先减后增,在区间上至多只有两个零点,不符合题意.故. 故下证:当时,由得有两个不同的实数根.构造函数,.令,,,所以在上单调递增,所以当时,.所以由可知在上递减,在上递增,所以在处取得极小值也即是最小值,所以. 综上所述,的取值范围是.由于为偶函数,根据函数图像的对称性可知的取值范围是.故③正确. ④当时,设经过点的切线的切点为,,,故切线方程为,将代入上式得,化简得.令,,,所以在上单调递增.所以方程解得或.所以当时,有两条切线.根据为偶函数,所以当时,也有两条切线方程. 所以经过有四条直线与相切,④错误. 特别的,当时,,,即当时,在处的切线的斜率为.当时,,即当时,在处的切线的斜率为. 故答案为:①②③
复制答案
考点分析:
相关试题推荐

已知双曲线的左、右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为_________.

 

查看答案

已知函数,若4个零点,则m的取值范围是 _________.

 

查看答案

某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中最大的值是______.

 

 

查看答案

中,,若点P所在平面内任意一点,则的取值范围是(   

A. B. C. D.

 

查看答案

已知正项数列的前n项和为,且,若数列,数列的前2020项和为(   

A. B. C. D.

 

查看答案
试题属性

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.