Question

如图1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足为E，，将沿EC折起到的位置，如图2所示，使平面平面ABCE.

（1）连结BE，证明：平面；

（2）在棱上是否存在点G，使得平面，若存在，直接指出点G的位置不必说明理由，并求出此时三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）存在，点G为的中点，.

【解析】

（1）通过面面垂线的性质定理，证得平面ABCE ，由此证得.利用勾股定理计算证明，从而证得平面.

（2）通过线面平行的判定定理，判断出点G为的中点.利用换顶点的方法，通过，来计算出三棱锥的体积.

1因为平面平面ABCE，平面平面，平面，所以 平面ABCE ，  

又因为 平面ABCE，所以   ，又，满足，所以 ，

又 ，所以 平面.

2在棱上存在点G，使得平面，

此时点G为的中点.，      

由1知，平面ABCE，所以 ，

又，所以 平面，

所以CE为三棱锥的高，且，      

在中，，G为斜边的中点，

所以 ，

所以 .

故，在棱上存在点G，使得平面，

此时三棱锥的体积为.