Question

已知函数， .

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，对任意的，存在，使得成立，试确定实数m的取值范围.

Answer

（1）当时，的单调递增区间是，无递减区间；当时，的单调递增区间是，递减区间是；（2）.

【解析】

（1）求得的导函数，对分成和两种情况，讨论函数的单调区间.

（2）将问题转化为，利用导数求得的最小值，结合（1）对分成三种情况进行分类讨论，求得的最小值.从而确定的取值范围.

（1）由，得.当时，，所以的单调递增区间是，没有减区间.当时，由，解得；由，解得，所以的单调递增区间是，递减区间是.综上所述，当时，的单调递增区间是，无递减区间；当时，的单调递增区间是，递减区间是.

（2）当时，对任意，存在，使得成立，只需成立.

由，得.令，则.所以当时，，当时，.所以在上递减，在上递增，且，所以.所以，即在上递增，所以在上递增，所以.

由（1）知，当时，在上递增，在上递减，

①当即时，在上递减，；

②当即时，在上递增，在上递减，，由，

当时，，此时，

当时，，此时，

③当即时，在上递增，，

所以当时，，

由，得 

当时，，

由，得 ．

 ．综上，所求实数m的取值范围是．