Question

已知椭圆C：的左、右焦点分别是，点，若的内切圆的半径与外接圆的半径的比是.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点M是椭圆C的左顶点，P、Q是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线MP、MQ的斜率分别为、，若，试问直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer

（1）；（2）是，.

【解析】

（1）设内切圆和外接圆的半径分别是，则.利用三角形的面积公式求得与的关系式，利用正弦定理求得与的关系式，由此求得两者直线的关系式，进而求得的值，以及椭圆的方程.

（2）当直线的斜率不存在时，设出的坐标，利用列方程，结合在椭圆上，求得的坐标，由此求得直线的方程.当直线斜率存在时，设出直线的方程，代入椭圆方程，化简后写出韦达定理和判别式，利用列方程，求得的关系式，由此判断出直线所过定点坐标.

（1）由已知是椭圆的顶点，又分别是椭圆的左右焦点，则有，且.设的内切圆半径与外接圆的半径分别是和，则.由，得，得.

设，在中，，在中，由正弦定理得，即，所以.所以，即，即，化简得，解得（舍去），所以.所以所求椭圆的方程是.

（2）由已知，设，

若直线PQ的斜率不存在，不妨设，

由得，即，

又，

即，得，解得舍或，

或，此时直线PQ的方程为，

若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，

由，得，

，

由，得，

又，即，

即，即，

整理得，

，

整理得，解得，或，

当时，直线PQ：，即过定点，不符合题意，

当时，直线PQ：，即过定点．

综上，直线PQ过定点．