Question

已知函数，（a，b∈R）为奇函数.

（1）求b值；

（2）当a=﹣2时，存在x₀∈[1，4]使得不等式f（x₀）≤t成立，求实数t的取值范围；

（3）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2^x）﹣c（c∈R）在区间（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点.

Answer

（1）b=0；（2）t≥2；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可得到结论；

（2）根据函数单调性和最值的关系进行求解即可；

（3）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，利用函数单调性和函数零点之间的关系进行证明．

【解析】
（1）函数为奇函数，

，即，

，即；

（2）当时，，

函数，在，均单调递增，

函数在，单调递增，

当，时，，

存在，使得不等式成立，

；

（3）证明：，

设，，

，

，，

，即，

，又，

，即，

函数在，单调递减，

又，结合函数图象知函数在，上至多有一个零点．