Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=，a_n+b_n=1，b_n+1=.

（1）求a₂，a₃；

（2）证数列为等差数列，并求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

（3）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求实数λ为何值时4λS_n＜b_n恒成立.

Answer

（1）；（2）证明见解析，，（3）λ≤1

【解析】

（1）由给出的，循环代入和可求解，；

（2）由得，结合，去掉与得到与的关系式，整理变形后可证得数列是以4为首项，1为公差的等差数列，求出其通项公式后即可求得数列和的通项公式；

（3）首先利用裂项求和求出，代入，通过对分类讨论，结合二次函数的最值求使恒成立的实数的值．

（1）【解析】
，，，

，，，

∴；

（2）证明：由，

，

，即，

，

数列是以4为首项，1为公差的等差数列，

，则，

；

（3）【解析】
由，

，

，

要使恒成立，只需恒成立，

设，

当时，恒成立；

当时，由二次函数的性质知不满足对于任意恒成立；

当时，对称轴，在，为单调递减函数，

只需，

，∴时，恒成立，

综上知：时，恒成立．