Question

已知函数是二次函数，不等式的解集为，且在区间上的最小值是4.

（1）求的解析式；

（2）求在上的最大值、最小值的解析式；

（3）设，若对任意均成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；

（2），；

（3）或.

【解析】

(1)根据题意设，再根据在区间上的最小值是4，可以得出的解析式；

(2)对称轴是否在区间内，进行讨论可得最大值，在讨论和谁离对称轴远讨论可得最小值；

(3) ，恒成立，等价与对恒成立，求出右边的最小值，可得关于的不等式，即可求得结论.

(1)解集为，

设，且，

对称轴，开口向下，

，解得，

所以；

(2)由(1)知，

当时，在上单调递增，则，

当时，在上单调递增，在上单调递减，则，

，

又当且 即时，，

当且，即时，，

（3），

恒成立，

即对恒成立，化简，即对

恒成立，

令，记，

则，

二次函数开口向下，对称轴为，

当时，故，

即，

解得或 .