Question

如图，四棱锥中，，，，为正三角形，且.

（1）证明：直线平面；

（2）若四棱锥的体积为，是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明，，推出平面；

（2）以为原点，直线、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，由（1）的结论知，平面，所以则向量与向量所成的角或其补角与直线与平面所成的角互余，计算结果即可.

（1），且，，

又为正三角形，所以，

又，，所以，又，//，

，，所以平面.

（2）设点到平面的距离为，则，依题可得，以为原点，直线、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，分别求出各点的坐标和向量，由（1）可知平面，故向量是平面的一个法向量，则向量与向量所成的角或其补角与直线与平面所成的角互余.

则，，，，则，设，

由，，可得，解得，，

即，

所以，又由（1）可知，是平面的一个法向量，

∴，

所以直线与平面所成角的正弦值为.