Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标.

（1）面积的最大值为，则：

又，，解得：，

椭圆的方程为：

（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形

设，，线段的中点为

由，消去可得：

，解得：

∴，

，

依题意有，

由可得：，可得：

由可得：

，

代入上式化简可得：

则：，解得：

当时，点满足题意；当时，点满足题意

故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形