Question

已知，函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)若是的极值点，且曲线在两点，处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为、，求的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，

（2）由x＝2是f（x）的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得，同理，．求出b1﹣b2，再构造函数，

利用导数，即可求出b1﹣b2的取值范围

（1），

①当a≤0时，f'（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；

②当a＞0时，时f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，

即f（x）在上单调递减，在单调递增；

（2）∵x=2是f（x）的极值点，∴由（1）可知，

∴a=1，设在P（x1，f（x1））处的切线方程为，

在Q（x2，f（x2））处的切线方程为

∴若这两条切线互相平行，则，∴

∵，且0＜x1＜x2＜6，∴，∴，

∴x1∈（3，4）令x=0，则，

同理，．

【解法一】

∵，∴

设，

∴

∴g（x）在区间上单调递减，∴

即b1-b2的取值范围是．

【解法二】

∵，

∴

令，其中x∈（3，4）

∴

∴函数g（x）在区间（3，4）上单调递增，∴

∴b1-b2的取值范围是．

【解法三】

∵x1•x2=2（x1+x2），

∴

设，则

∵，∴g'（x）＞0，

∴函数g（x）在区间上单调递增，

∴，∴b1-b2的取值范围是．