Question

若动点到定点与定直线的距离之和为．

（1）求点的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；

（2）（理）记（1）得到的轨迹为曲线，问曲线上关于点对称的不同点有几对？请说明理由．

（3）（文）记（1）得到的轨迹为曲线，若曲线上恰有三对不同的点关于点对称，求的取值范围．

Answer

（1）点的轨迹方程为，作图见解析 （2）答案不唯一 ，见解析（3）

【解析】

（1）根据条件列方程，化简即得轨迹方程，再根据轨迹形状画图；

（2）结合图象易得关于轴对称点的个数，再利用方程求解不关于轴对称点的个数，最后综合得结果；

（3）结合图象易得关于轴对称点的有一对，再利用方程求解不关于轴对称点的对数为两对的条件，即得结果.

【解析】
、设，由题意

①：当时，有，化简得：

②：当时，有，化简得：（二次函数）

综上所述：点的轨迹方程为（如图）

、（理）当或显然不存在符合题意的对称点

当时，注意到曲线关于轴对称，至少存在一对（关于轴对称的）对称点

下面研究曲线上关于对称但不关于轴对称的对称点

设是轨迹上任意一点，则，它关于的对称点为，由于点在轨迹上，

所以，

联立方程组（*）得，

化简得

①当时，，此时方程组(*)有两解，即增加有两组对称点。

②当时，，此时方程组(*)只有一组解，即增加一组对称点。（注：对称点为，）

③当时，，此时方程组(*)有两解为，没有增加新的对称点。

综上所述：

（3）、（文）若，则，所以曲线关于轴对称，

所以一对存在关于轴对称的对称点

下面研究曲线上关于对称但不关于轴对称的对称点

设是轨迹上任意一点，则，它关于的对称点为，由于点在轨迹上，

所以，联立方程组（*）得，化简得

当时，，此时方程组(*)有两解，即增加有两组对称点。

所以的取值范围是