Question

已知数列 ，为其前项的和，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，求证：当时；

（3）（理）已知当，且时有，其中，求满足的所有的值．

（4）（文）若函数的定义域为，并且，求证．

Answer

（1） （2）证明见解析 （3）或 （4）证明见解析

【解析】

（1）根据和项与通项关系求解；

（2）法一：根据定义直接化简，再对照，证得结果；法二，利用数学归纳法进行证明；

（3）先根据叠加法得时，再逐一验证，即得结果；

（4）先根据定义域为，讨论分析得的取值范围，再根据极限确定的取值范围，即证得结果.

【解析】
（1）当时，

又 ，所以

(2)、<法一> ，，

<法二>：数学归纳法

①时，，

②假设时有

当时，

是原式成立

由①②可知当时；

(3)、（理），

相加得，

，

时，无解

又当时；，时，；时，

时，为偶数，而为奇数，不符合

时，为奇数，而为偶数，不符合

综上所述或者

(4)、易知，否则若，则，与矛盾

因为函数的定义域为，所以恒不为零，

而的值域为所以，

又时，，与矛盾，故

且

，

即有。