Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为（   ）

A.  B.  C.  D.

Answer

A

【解析】

结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.

如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，

设点，，则，

因为为的重心，所以，

因为轴，所以点横坐标也为，，

因为为的角平分线，

则有，

又因为，所以可得，

又由角平分线的性质可得，，而

所以得，

所以，，

所以，即，

因为

即，解得，所以答案为A.